绝对值不等式证明 绝对值不等式为什么叫三角不等式

三角不等式这个很多人都不知道，那么现在就让我带着大家一起来看看吧！

1、所证不等式 [sin(A/2)+sin(B/2)+sin(C/2)]^2≤[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^ 2+[cos(C/2)]^2。 (1)设，R，r分别表示△ABC的半周长，外接圆和内切圆半径。

2、根据三角形恒等式： [sin(A/2)]^2+[sin(B/2)]^2+[sin(C/2)]^2=(2R-r)/(2R)； [ cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2=(4R+r)/(2R)。

3、 不等式(1)等价于 [sin(B/2)+sin(C/2)]^2+[sin(C/2)+sin(A/2)]^2+[sin(A/ 2)+sin(B/2)]^2≤3 (2) sin(B/2)*sin(C/2)+sin(C/2)*sin(A/2)+sin(A/2) ) )*sin(B/2)=4、 对于三角形三内角A, B, C总存在关系如下： A≥60°≥B≥C, C≥B≥60°≥A。

5、 由此总有： [sin(B/2)-1/2]*[sin(C/2)-1/2]≥0 4sin(B/2)*sin(C/2)≥2[sin (B/2)+sin(C/2)]-1 则有 1+4sin(A/2)*sin(B/2*sin(C/2)≥2sin(A/2)*[sin(B /2)+sin(C/2)]+1-sin(A/2) 因为sin(B/2)*sin(C/2) 在B/2=C/2=(180°-A)/ 4时取得极大值，故有2sin(B/2)*sin(C/2)≤2[sin(180°-A)/4]^2=[1-sin(A/2)]。

6、因此 1+4sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)≥2T 由三角形三角恒等式： cosA+cosB+cosC=1+4sin(A/2)+*sin( B/2)*sin(C/2) =[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2-[sin(A/ 2)]^2-[sin(B/2)]^2-[sin(C/2)]^2即得不等式(1)。

今天分享完毕，希望对您有所帮助。